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Cours sur la Loi Normale et les Écarts Types

Introduction à la Loi Normale

La loi normale, également connue sous le nom de distribution normale ou distribution de Gauss, est une distribution de probabilité continue qui est symétrique par rapport à sa moyenne. Elle est caractérisée par sa forme en cloche et est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes naturels et des variables économiques.

Caractéristiques de la Distribution Normale

1. Symétrie : La distribution normale est symétrique par rapport à la moyenne.
2. Moyenne (μ) : Le centre de la distribution, où elle atteint son maximum.
3. Écart-type (σ) : Une mesure de la dispersion ou de l’étalement de la distribution. Plus l’écart-type est grand, plus la distribution est étalée.

Écarts Types et la Règle Empirique

La règle empirique, ou la règle des 68-95-99.7, est une propriété des données normalement distribuées. Elle stipule que :

1. 68% des données se situent à moins d’un écart-type de la moyenne.
2. 95% des données se situent à moins de deux écarts-types de la moyenne.
3. 99.7% des données se situent à moins de trois écarts-types de la moyenne.

Interprétation des Écarts Types

• 1 Écart-type (68%) : Si vous choisissez une valeur aléatoire dans une distribution normale, il y a environ 68% de chances qu’elle se situe à une distance de moins d’un écart-type de la moyenne.
• 2 Écarts-types (95%) : Il y a environ 95% de chances qu’elle se situe à moins de deux écarts-types de la moyenne.
• 3 Écarts-types (99.7%) : Il y a environ 99.7% de chances qu’elle se situe à moins de trois écarts-types de la moyenne.

Application Commerciale

En commerce et en économie, la distribution normale peut être utilisée pour modéliser des phénomènes tels que les revenus, les dépenses, les prix des actions, etc. Par exemple, une entreprise peut utiliser la distribution normale pour prévoir les ventes mensuelles ou pour évaluer la performance des produits.

Exercices Pratiques

Exercice 1 : Comprendre les Écarts Types

1. Une entreprise observe que le temps moyen de traitement d’une commande est de 30 minutes avec un écart-type de 5 minutes. Supposons que le temps de traitement suit une distribution normale.
   • Quelle proportion des commandes est traitée en moins de 35 minutes ?
   • Quelle proportion des commandes est traitée en moins de 40 minutes ?

Exercice 2 : Application à la Prévision des Ventes

1. Les ventes mensuelles d’un produit suivent une distribution normale avec une moyenne de 500 unités et un écart-type de 50 unités.
   • Quelle proportion des mois les ventes seront comprises entre 450 et 550 unités ?
   • Quelle proportion des mois les ventes seront comprises entre 400 et 600 unités ?

Conclusion

La compréhension de la loi normale et des écarts-types est essentielle pour analyser les données et faire des prévisions précises en commerce. La règle des 68-95-99.7 permet d’évaluer rapidement les probabilités et les variations autour de la moyenne, facilitant ainsi la prise de décision basée sur les données.